Le calcul des diamètres des tuyaux par le moyen des logarithmes
est sans doute la façon la plus simple de procéder dans la mesure où l'on est pourvu
d'un logiciel de tableur, ou chiffrier, chose qui ne pose plus aucun problème aujourd'hui.
Le principe demande de connaître au départ trois nombres, savoir :
- le diamètre du tuyau le plus gros.
- le diamètre du tuyau le plus petit.
- le nombre de notes qu'il faut établir.
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Ln = logarithme népérien,
ou naturel.
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1. PremDiam (C1) = 83,0 |
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extrême grave. |
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2. DernDiam (G5) = 20,0 |
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extrême aigu. |
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3. NbN = 56 |
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nombre de notes entre les deux extrêmes (compris). |
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B = Ln(46,5) |
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(2,9957323). |
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R = |
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= |
4,418806 - 2,9957323 |
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56 - 1 |
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(0,0258747). |
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C♯ |
= |
e ^ (A - 1 × R) |
D |
= |
e ^ (A - 2 × R) |
D♯ |
= |
e ^ (A - 3 × R) |
E |
= |
e ^ (A - 4 × R) |
F |
= |
e ^ (A - 5 × R) |
F♯ |
= |
e ^ (A - 6 × R) |
G |
= |
e ^ (A - 7 × R) |
... &c.
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Dans les faits, puisque nous avons aujourd'hui à notre disposition des logiciels
de calcul très puissants, il est encore plus simple de se passer complètement des logarithmes.
En effet, partant des trois même composants de base (diamètre du tuyau le plus gros,
diamètre du tuyau le plus petit, nombre de notes qu'il faut établir),
on commence par établir le rapport entre les deux extrêmes.
Suivant l'exemple qui précède, |
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= 4,1500000. |
Puis on établit la racine Nième de ce rapport,
N étant égal au nombre de notes moins 1.
NbN - 1 |
√ |
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= |
55√4,1500000 |
= |
4,1500000 |
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= 1,0262124. |
N.B. les tableurs (ou les langages informatiques) font cette opération par l'exponentiation
de l'inverse (ce qui revient rigoureusement au même).
Ce dernier chiffre trouvé (1,0262124) devient le rapport entre tous
les diamètres. Il suffit donc de partir du premier (83 mm.) et de diviser successivement chaque
dernier diamètre connu par ce rapport pour en trouver le suivant.
Cette formulation dans les cellules de tableur me semble plus simple mais on choisira l'une
ou l'autre des méthodes de calcul ad libitum puisqu'elles donnent évidemment des
résultats parfaitement identiques.
Pour illustrer ce qui précède, on pourra avantageusement consulter le
fichier tableur au format ODS
(OpenOffice.org) ou au
format XLS (Micro$oft Excel), ou, plus simplement, remplir le formulaire
de l'illustration JavaScript ci-dessous qui calcule 61 notes selon ce procédé.
Logarithmes |
Log(PremDiam) :
- |
Log(DernDiam) :
- |
R :
- |
Racine NbNième |
PremDiam / DernDiam (rapport) :
- |
Racine NbNième du rapport :
- |
Progression entre le premier et le cinquième do : |
- |
On notera que la représentation graphique à la Dom Bedos de ces valeurs
calculées ne peut pas se faire en conservant à 2 le rapport des octaves dans le sens
horizontal (division) car cela fait alors figurer une courbe et non une droite. Aussi, si l'on souhaite
conserver une droite figurant les diamètres, il faut alors que le rapport entre les demi-tons de la
division horizontale corresponde exactement à celui des diamètres eux-mêmes.
Suivant l'exemple qui précède, le rapport de l'octave, dans la
division horizontale du graphique comme dans celle de la progression des diamètres, ne sera donc pas
égale à 2 mais à 1,026212412, soit 1,3641020. De même, on peut
aussi déduire que le rapport entre le premier et le cinquième do, si cher aux facteurs
du xixe siècle, est égal à
1,026212448, soit 3,46.
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1 | C | - |
2 | C♯ | - |
3 | D | - |
4 | D♯ | - |
5 | E | - |
6 | F | - |
7 | F♯ | - |
8 | G | - |
9 | G♯ | - |
10 | A | - |
11 | A♯ | - |
12 | B | - |
13 | C | - |
14 | C♯ | - |
15 | D | - |
16 | D♯ | - |
17 | E | - |
18 | F | - |
19 | F♯ | - |
20 | G | - |
21 | G♯ | - |
22 | A | - |
23 | A♯ | - |
24 | B | - |
25 | C | - |
26 | C♯ | - |
27 | D | - |
28 | D♯ | - |
29 | E | - |
30 | F | - |
31 | F♯ | - |
32 | G | - |
33 | G♯ | - |
34 | A | - |
35 | A♯ | - |
36 | B | - |
37 | C | - |
38 | C♯ | - |
39 | D | - |
40 | D♯ | - |
41 | E | - |
42 | F | - |
43 | F♯ | - |
44 | G | - |
45 | G♯ | - |
46 | A | - |
47 | A♯ | - |
48 | B | - |
49 | C | - |
50 | C♯ | - |
51 | D | - |
52 | D♯ | - |
53 | E | - |
54 | F | - |
55 | F♯ | - |
56 | G | - |
57 | G♯ | - |
58 | A | - |
59 | A♯ | - |
60 | B | - |
61 | C | - |
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