Calculs de
tailles de tuyaux d'orgues
par le moyen des
progressions.

La méthode des progressions ne diffère quasiment pas de la méthode des logarithmes si ce n'est qu'elle impose le premier diamètre comme étant le premier do, le second diamètre comme le cinquième do et que le rapport entre ceux-ci est fixé par un nombre variable, souvent entier, et qui fait référence comme étant la valeur qui fait progresser les diamètres.

À partir du milieu du xix^e siècle, le théoricien allemand Johann Gottlob Töpfer a particulièrement insisté¹ sur le fait que, pour lui, l'idéal de progression des diamètres devait se trouver à 8 (rapport entre do 1 et do 5). Avec plus de subtilités, Cavaillé-Coll² fera varier ses progressions dans une bien plus large mesure. Enfin, c'est évidemment dans le complément à l'ouvrage de Dom Bédos publié en 1849 par Marie-Pierre Hamel³ que l'on trouvera le plus de détails écrits en langue française sur la construction des diapasons suivant le principe des progressions.

Pour résumer, le processus pour calculer une série de tailles à partir d'un diamètre et d'une progression choisis est le suivant :

taille(x) =

taille (x - 1) 48√prog

On utilise la racine quarante huitième car le rapport de √prog est valable « dans une étendue de deux octaves »⁴. Il s'en suit que le rapport à l'octave est égal à ⁴√prog et que le rapport au demi-ton se retrouve à ^4 × 12√prog, soit ⁴⁸√prog.

Ce procédé est rigoureusement arithmétique ; il est toutefois possible de le figurer graphiquement à la manière de Dom Bedos si l'on prend la précaution de respecter le même rapport entre les diamètres (figurés verticalement) et leur éloignement deux à deux (horizontalement). Pour illustrer ceci, on a la chance de pouvoir se référer à l'ouvrage d'Aristide Cavaillé-Coll, « De l'orgue et de son architecture  »⁵, qui, dans son édition de 1872, publie la planche XXV où figure le graphique d'un diapason et où il est très facile de constater, double décimètre en main, que le rapport de l'octave, figuré horizontalement, est lui-même égal au rapport de l'octave de la progression des diamètres, savoir : ⁴√10 (1,7782794). On notera au passage que le tableau de transcription numérique correspondant à ce diapason spécifie très explicitement que le calcul est basé sur la progression de dix : « Nous avons pris pour base de notre calcul le diamètre du premier C de 32 pieds égal à 0m,45, et celui de la cinquième octave au dessus, C ou C 3 égal à 0m,445 [sic] , c'est-à-dire au dixième du premier C ». Excepté la coquille (volontaire..?), corrigée par la valeur correcte dans le tableau, on sait aujourd'hui qu'il existe des Montres de Cavaillé-Coll dont le diamètre du 8 pieds s'approche bien de 144 millimètres. Par contre, à ma connaissance (et à celle des personnes averties que j'ai pu interroger sur le sujet...), il n'en est aucune qui suive cette progression... Aussi, la mention « Ces tuyaux sont, suivant nous, d'une bonne proportion pour la tonalité moderne » est d'une élégance toute relative puisque elle suit l'adage « faites comme je vous dis, pas comme je fais »...

Pour illustrer ce qui précède, on pourra avantageusement consulter le fichier tableur au format ODS (OpenOffice.org) ou au format XLS (Micro$oft Excel), ou, plus simplement, remplir le formulaire de l'illustration JavaScript ci-dessous qui calcule 61 notes selon ce procédé.

1 Johann Gottlob Töpfer,
Die Theorie und Praxis des Orgelbaues, Weimar, 1855, 1888.
Réimpression en fac-similé de l'édition de 1888 avec une introduction par W. L. Sumner.
Amsterdam, 1972, Knuf, Bibliotheca organologica ;
953 pages + Atlas
ISBN : 90-6027-156-4 geb.

2 Laurent Plet,
Étude de la tuyauterie d'Aristide Cavaillé-Coll, chapitre consacré aux tailles, texte d'une conférence demandée par l'Association pour la Sauvegarde de Bâtiments et de Sites (texte uniquement disponible en ligne).

3 Marie-Pierre Hamel,
Nouveau manuel complet du facteur d'orgues ou Traité théorique et pratique de l'art de construire les orgues : contenant l'orgue de D. Bédos et tous les progrès et perfectionnements de la facture jusqu'a ce jour, précédé d'une notice historique sur l'orgue, et suivi d'une biographie des pricipaux facteurs d'orgues français et étrangers.
Ouvrage orné d'un Atlas renfermant un grand nombre de Planches.
Paris, Librairie encyclopédique de Roret, 1849.

4 Pierre Veerkamp,
L'orgue à tuyaux,
Première édition intégrale avec une notice biographique et technique par Ton Van Eck et Victor Timmer
La Flûte Harmonique, publication de l'Association A. Cavaillé-Coll, Paris, 1986, pages 108 et suivantes.

5 Aristide Cavaillé-Coll,
De l'orgue et de son architecture, extrait de la revue générale de l'architecture et des travaux publics. Deuxième tirage, revu et augmenté, Paris, Ducher et Cie, libraires-éditeurs, 1856 - 2^e édition 1872.